正三棱錐的內(nèi)切球的球心是否一定在正三角形面所對的高線上？而且是否內(nèi)切球與四個面的切點一定在正三棱錐
發(fā)布時間：2019-07-14 18:53
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正三棱錐S-ABC的內(nèi)切球的球心O在高線SD上,而且內(nèi)切球與三個側(cè)面的切點在正三棱錐的斜高上，與底面ABC的切點是D,D是△ABC的中心。
正三棱錐S-ABC的內(nèi)切球的球心O在高線SD上,而且內(nèi)切球與三個側(cè)面的切點在正三棱錐的斜高上，與底面ABC的切點是D,D是△ABC的中心。證明如下：正三棱錐S-ABC的底面ABC是正三角形，AD⊥平面ABC于D,SA=SB=SC，所以D是△ABC的中心。設(shè)O是正三棱錐S-ABC的內(nèi)切球的球心，則O到四個面的距離都相等，所以O(shè)在二面角B-SA-C,A-SB-C的角平分面上，所以SO過△ABC的∠BAC,∠ABC的平分線的交點，即△ABC的中心D.所以AD⊥BC,所以BC⊥平面SAD,設(shè)垂足為E,于是平面SBC⊥平面SAD于SE,BC⊥SE,SE是正三棱錐的斜高。作OF⊥側(cè)面SBC于F,則F在SE上。其中F是內(nèi)切球O與側(cè)面SBC的切點.余者類推。
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